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Queremos ver si la función $f(x)$ es derivable en $x=0$. Acordate que para que una función sea derivable en un punto, primero tiene que ser continua en ese punto; entonces, arrancamos estudiamos continuidad de $f$ en $x=0$.
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Análisis Matemático 66
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
9.
Mediante los cocientes incrementales correspondientes, decida si las siguientes funciones son derivables en el punto indicado.
b) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin(7x)+2x^{2}\ln(x) & \text{ si } x>0 \\ 7x & \text{ si } x \leq 0\end{array}\right.$ en $x=0$
b) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin(7x)+2x^{2}\ln(x) & \text{ si } x>0 \\ 7x & \text{ si } x \leq 0\end{array}\right.$ en $x=0$
Respuesta
⚠️ Ejercicio típico de parcial ⚠️
Recordemos los tres puntos que tiene que cumplir una función $f$ para ser continua en un $x=x_0$
a) $f(x_0)$ debe estar definida.
b) El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $x_0$ debe existir y ser un número real.
c) El límite cuando $x$ tiende a $x_0$ debe ser igual a $f(x_0)$.
Veamos si nuestra $f$ cumple estas tres condiciones cuando $x=0$
a) $f(0) = 0$
b) Calculamos el $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) $
Por como está definida $f$ tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} 7x = 0$.
$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} (\sin(7x) + 2x^2 \ln(x))$
Este límite ya lo resolvimos en el Ejercicio 8 b), el resultado que nos había dado era $0$.
Perfecto, calculamos los límites por derecha y por izquierda, y ambos nos dieron $0$. Por lo tanto,
$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0$
c) $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$
Impecable, se cumplen las tres condiciones, por lo tanto $f$ es continua en $x=0$.
Ahora estudiamos derivabilidad en $x=0$. Como se trata de una función partida, y queremos calcular la derivada justo donde la función se parte, lo hacemos por definición usando el cociente incremental:
$ f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} $
La expresión $f(0+h)$ cambia según si $h$ tiende a $0$ por derecha o por izquierda, por lo tanto, necesitamos abrir el límite:
Por derecha:
$ \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin(7h) + 2h^2 \ln(h)}{h} $
Estamos frente a un "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital:
$ \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{7 \cos(7h) + 4h \ln(h) + 2h^2 \cdot \frac{1}{h}}{1} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{7 \cos(7h) + 4h \ln(h) + 2h}{1} $
Atenti acá cuando tomamos límite, tenemos que ver qué le pasa al término $h \cdot \ln(h)$, ahí tenés una indeterminación de tipo "cero por infinito". La resolvemos en un cálculo auxiliar (reescribimos como un cociente y aplicamos L'Hopital)
Cálculo auxiliar
$ \lim_{h \rightarrow 0^{+}} h \cdot \ln (h) = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(h)}{\frac{1}{h}} $
Aplicamos L'Hopital:
$ \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{ \frac{1}{h} }{ -\frac{1}{h^2} } = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} - h = 0 $
Entonces, volviendo a nuestro límite:
$\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{7 \cos(7h) + 4h \ln(h) + 2h}{1} = 7$
Por izquierda:
$ \lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{7h}{h} = 7$
Listo, calculamos los límites por derecha y por izquierda, y coinciden! Por lo tanto...
$ f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = 7 $
Es decir, $f$ es derivable en $x=0$ y $f'(0) = 7$